La paramétrisation


La paramétrisation d'un modèle d'objet permet de créer une relation bijective continue entre les points à la surface 3d de l'objet et ceux d'un domaine 2d du plan (u,v) :



On pourra trouver les informations techniques relatives à cette question dans les documents suivants :
http://graphics.stanford.edu/courses/cs468-10-fall/LectureSlides/12_Parameterization1.pdf
http://graphics.stanford.edu/courses/cs468-10-fall/LectureSlides/13_Parameterization2.pdf
http://alice.loria.fr/publications/papers/2000/parameterization/parameterization.pdf
http://alice.loria.fr/index.php/publications.html?redirect=0&Paper=bruno_levy_hdr@2008


Ceci nous montre que la surface de l'objet examiné ne doit pas être complètement fermée. Elle doit avoir une ou plusieurs ouvertures. Et parmi ces ouvertures l'une d'elles sera la frontière en correspondance avec la frontière périmétrique du domaine du plan (u,v) contenant tous les points homologues à ceux de la surface de l'objet. On en déduit que le modèle de l'objet doit avoir quelques nouvelles restrictions :
- il doit avoir une ouverture principale dont la bordure sera la frontière de la paramétrisation.
- il ne doit pas avoir d'auto-intersection comme un fer à cheval qui serait trop refermé.
- il sera de genre 0, "genus" en anglais, c'est à dire pouvant être mis en relation avec une sphère. Un tore est de genre 1.
- il doit avoir une surface manufacturable ou "2-manifold", comme disent les anglais, c'est à dire que le voisinage de tout point de sa surface est l'équivalent d'un disque ou d'un demi-disque.

Ces propriétés techniques ne sont pas bien génantes en pratique. Cela élimine des cas particuliers un peu exotiques comme le ruban de Möebius ou bien certains modèles courants comme un personnage dont les bras et les jambes formeraient des "arcs" refermés, mais que l'on pourrait traiter en plusieurs morceaux.

Il n'y a pas une méthode de paramétrisation qui domine les autres. Les diverses méthodes connues ont des avantages et inconvénients complémentaires. C'est pour cette raison qu'il était amusant de programmer ici deux méthodes de paramétrisation. La première est la méthode de la valeur moyenne, en anglais : mean value. C'est une méthode à frontière fixe convexe, choisie ici circulaire. La seconde est la méthode à frontière libre de M. Bruno Lévy : cartes conformes au sens des moindres carrés, en anglais LSCM : Least Squares Conformal Maps. Si le modèle a plusieurs ouvertures, la frontière sera toujours celle qui a le plus d'arêtes de bordure. A tout moment on peut changer la méthode de paramétrisation utilisée.

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